20．真理；概率；验证
到《研究的逻辑》出版的时候，我才感到有三个我必须进一步研究的问题：真理、概率以及就理论的内容及其验证方面把理论加以比较。
虽然虚假的概念——也就是不真实的概念——因而不言而喻，真理的概念——在《研究的逻辑》中起了很大的作用，我十分朴素地使用这个概念，并且仅仅在第 84节以“论‘真的’和‘被验证的’概念的使用”为题对此进行了讨论。那时，我并不知道塔尔斯基的工作，或者两种元语言学理论之间的区别（一种被卡尔纳普称为“句法”，另一种被塔尔斯基称为“语义学”，后者由玛丽亚·冠克辛斯卡加以十分清楚地辨别和讨论）；然而就真理和确认之间的关系而言，我的观点多少成为维也纳学派中——也就是说在像卡尔纳普那样接受塔尔斯基真理论的那些成员中的标准。
当1935年塔尔斯基向我说明了（在维也纳的人民公园）他的真理概念定义的思想时，我才认识到它是何等的重要，并且认识到他终于恢复了大受中伤的真理的符合说，我认为这种理论是并且永远是常识的真理观。
我后来对这个问题的想法主要是试图使我自己明白塔尔斯基做了些什么。说他已经给真理下了定义，是不确实的。诚然，对一种非常简单的形式化的语言来说，他已概述了定义的方法。然而他也澄清了还有不是用定义而是用公理引入真理的其他基本等价的方法，所以真理是应当用公理还是用定义引入的问题不可能是个根本问题。此外，所有这些精确的方法限于形式化的语言，并且像塔尔斯基所表明的那样不能应用于具有“普遍性”特征的日常语言。虽然如此，清楚的是我们能够从塔尔斯基的分析中学习如何稍加小心地在日常讲话时使用真理的概念，而且在日常意义上——真理是符合事实——使用它。我最后判定塔尔斯基所做的就是要说明：一旦我们理解了一种对家语言与一种（语义学的）元语言——我们用以谈论陈述和事实的语言——之间的区别，在理解一个陈述怎么会符合一个事实方面就不会有很大困难了。（请参阅下面第32节。）
对于我来说，概率引起了一些问题，又是非常使人兴奋而有趣的工作。《研究的逻辑》中所处理的根本问题就是物理学中概率陈述的可检验性。我认为这个问题向我的总的认识论提出了重要挑战，而且我借助于一个属于这种认识论的一部分，并且我认为不是一种特设性假说的观念，解决了这个问题。这个观念就是：任何理论陈述的检验都不是最终的或定论性的，并且经验的或批判的态度包括坚持某些“方法论规则”，这些规则告诉我们不要回避批判而要接受反驳（虽然不太容易），这些法则基本上是有点灵活的。因而接受一个反驳几乎就如同试验性地采用某种假说，即接受某种猜想一样有风险。
第二个问题是概率陈述种种可能的诠释问题，而且这个问题与在我书中起了主要作用的其他两个问题有密切的联系（但是它们在性质上是截然不同的）：一个是对量子力学的诠释问题——依我看来，就是物理学中概率陈述的地位问题；另一个是理论的内容问题。
然而，为了能够以最一般的形式着手解决概率陈述的诠释问题，就有必要发展一套概率计算的公理系统。这对于另一个目的来说也是必要的——对于确立我在《研究的逻辑》中提出的论题：“验证在概率计算的意义上并不是一种概率”，就是说验证的某些直观方面使它不能与概率计算意义上的概率等同。（也请参阅下面注「155］和「159」之间的正文。）
在《研究的逻辑》中我已指出，关于概率概念有许多可能的诠释，并且我坚持认为在物理学中，只有像理查德·冯·米塞斯提出的那种频率理论才是可以接受的。（后来我引入趋向性的诠释修改了这种观点，并且我认为冯·米塞斯会赞同这种修改；因为趋向性陈述仍然要用频率来检验。）但是我对于一切已知的运用无穷序列的频率理论除了若干次要的异议外，还有一个主要的技术性的异议。这就是：
取0和1的任何有穷序列（或者只是0的或1的有穷序列），无论它有多长；设它的长度是n，而这个n也许是数十亿。继n＋1项后是一个无穷随机序列（一个“集合体”）。因此对于一个组合的序列来说，只有某种终止部分（从某个m≥n＋1开始）的性质是有意义的，因为一个序列满足冯·米塞斯的要求，当且仅当该序列的终止部分满足这些要求时。但是这意味着任何经验的序列对于判断任何无穷序列（经验序列是这个无穷序列的初始节段）简直是不相干的。
我有机会和冯·米塞斯、海利、汉斯·哈恩讨论这个问题（以及许多其他问题）。当然他们都同意我的看法，但是冯·米塞斯对此并不担忧。他的观点（是众所周知的）是：满足于他要求的序列——他称它为一个“集合体”——是一个像球体一样的理想的数学慨念。任何经验的“球体”只能是大致的近似。
我将乐意把数学上理想的球体和经验的球体之间的关系当作数学的随机序列（一种“集合体”）和无穷经验序列之间关系的一种模型来接受。但是我强调不存在令人满意的意义，而在这种意义上，一种有穷序列可以说成大致上近似于冯·米塞斯意义上的集合体。因此，我开始建构某种理想的但又不太抽象的东西：一种理想的无穷随机序列，它从一开始就具有随机性质，所以长度n的每一个有穷的初始节段尽可能是理想地随机的。
在《研究的逻辑》中，我概述了这样一种序列的建构，但是那时我并没有充分认识到这种建构实际上解决了（a）能够与有穷的经验序列相比较的理想的无穷序列的问题；解决了（b）建构一个可以用来代替（非建构的）随机定义的数学序列问题；以及解决了（c）使冯·米塞斯关于极限存在的假设成为多余的问题，因为这一点现在已可以得到证明了。换言之，那时我并没有认识到我的建构取代了在《研究的逻辑》中提出的若干解决方法。
我的理想化的随机序列并不是在冯·米塞斯意义上的“集合体”，尽管它们通过了所有的随机统计检验，但它们是确定的数学上的建构：它们的延续可以被任何知道建构法的人在数学上预测到。但是冯·米塞斯业已要求“集合体”应该是不可预测的（“排除赌博系统原理”）。这种范围广泛的要求有不幸的推断，即不能建构一个集合体的例子，因此建构这种要求的无矛盾性的证明是不可能的。当然克服这个困难的惟一方法是放宽这个要求。于是便引起了一个有趣的问题：使无矛盾性（或存在〕的证明成为可能的最低限度的放宽是什么呢？
这是有趣的，但不是我的问题。我的中心问题是任意长度的因而可扩展为无穷理想随机序列的有穷类随机序列的建构问题。
1935年初，我在维也纳学派的一个外围团体中作了一次关于这个问题的讲演，后来我应卡尔·曼格尔之邀到他著名的“数学学术讨论会”上作一次讲演，我发现这是一个大约30人参加的非常杰出的集会，他们当中有库尔特·哥德尔、阿尔弗雷德·塔尔斯基和阿伯拉罕·瓦尔德；并目根据曼格尔的看法，我成了无意中引起瓦尔德对概率和统计学领域发生兴趣的工具，而在这个领域内，瓦尔德是非常闻名的。曼格尔在他给瓦尔德写的讣告里对这件事作了以下描述。
那时，发生了第二件事，这件事证明对瓦尔德以后的生活和工作具有决定性的重要意义。维也纳的哲学家卡尔·波普尔……试图使随机序列的概念精确化，从而纠正冯·米塞斯集合体定义明显的缺点，在我听到了（在石里克的哲学学派里）关于波普尔想法的不太专门的阐明后，我要他把那个重要主题详细地向数学学术讨论会作介绍。瓦尔德对此产生了浓厚的兴趣，结果就是他关于集合体概念的首尾一贯的高超论文……他把他对集合体存在的证明建立在集合体概念的双重相对化基础上。
曼格尔接着描述集合体定义，并且作出结论说：
尽管瓦尔德的相对化限制了原来的不受限制的（但是难以运用的）集合体概念，但它比科普兰、波普尔和赖辛巴赫的不规则性要求要无力得多。事实上，它把这些要求作为特例包括在内了。
这是很对的，瓦尔德出色地解决了把冯·米塞斯的要求放宽到最低限度的问题。这一点给我留下了最深刻的印象。但是正如我有机会向瓦尔德指出的那样，这并没有解决我的问题：对于0和1具有同等概率的“瓦尔德集合体”仍然可以从一大堆数十亿个0开始，因为随机只是一个在极限中如何表现的问题。大家公认，瓦尔德的工作提供了一个把一切无穷序列类都分为集合体和非集合体的一般方法，而我的工作仅仅允许构成任意长度的某种随机序列——可以说是某些很特殊的模型。然而任何长度的任何给定有限序列总是能这样延续，以致不是成为瓦尔德意义上的集合体，就是成为瓦尔德意义上的非集合体。（这同样适用于科普兰、赖辛巴赫、丘奇和其他人的序列。）
我在一段很长时间内认为我对我的问题的解决，似乎在哲学上是十分令人满意的，它能够借普遍化而使它在数学上更有意义，而且认为瓦尔德的方法也可以用于此目的。我与瓦尔德讨论了这个问题，我和他变得很友好，希望他能自己去做这件事。但是这是困难时期：在我们两人都移居到世界不同地区以前，我们谁都没有设法回到这个问题上来。
还有一个与概率密切有关的问题：一个陈述或一个理论的内容的（量度）问题。我已在《研究的逻辑》中表明，一个陈述的概率与其内容成反比，因此，它可以用于建构内容的量度（内容的这种量度充其量是比较的，除非这个陈述是关于一种靠碰运气取胜的游戏的陈述，或者也许是关于某种统计学的陈述。）
这提示了在概率计算的诠释中，至少有两种诠释是极为重要的：（1）一种允许我们谈论诸如掷一便士钱币猜正反面或电子出现在荧光屏上之类的（单个）事件的概率
虽然虚假的概念——也就是不真实的概念——因而不言而喻，真理的概念——在《研究的逻辑》中起了很大的作用，我十分朴素地使用这个概念，并且仅仅在第 84节以“论‘真的’和‘被验证的’概念的使用”为题对此进行了讨论。那时，我并不知道塔尔斯基的工作，或者两种元语言学理论之间的区别（一种被卡尔纳普称为“句法”，另一种被塔尔斯基称为“语义学”，后者由玛丽亚·冠克辛斯卡加以十分清楚地辨别和讨论）；然而就真理和确认之间的关系而言，我的观点多少成为维也纳学派中——也就是说在像卡尔纳普那样接受塔尔斯基真理论的那些成员中的标准。
当1935年塔尔斯基向我说明了（在维也纳的人民公园）他的真理概念定义的思想时，我才认识到它是何等的重要，并且认识到他终于恢复了大受中伤的真理的符合说，我认为这种理论是并且永远是常识的真理观。
我后来对这个问题的想法主要是试图使我自己明白塔尔斯基做了些什么。说他已经给真理下了定义，是不确实的。诚然，对一种非常简单的形式化的语言来说，他已概述了定义的方法。然而他也澄清了还有不是用定义而是用公理引入真理的其他基本等价的方法，所以真理是应当用公理还是用定义引入的问题不可能是个根本问题。此外，所有这些精确的方法限于形式化的语言，并且像塔尔斯基所表明的那样不能应用于具有“普遍性”特征的日常语言。虽然如此，清楚的是我们能够从塔尔斯基的分析中学习如何稍加小心地在日常讲话时使用真理的概念，而且在日常意义上——真理是符合事实——使用它。我最后判定塔尔斯基所做的就是要说明：一旦我们理解了一种对家语言与一种（语义学的）元语言——我们用以谈论陈述和事实的语言——之间的区别，在理解一个陈述怎么会符合一个事实方面就不会有很大困难了。（请参阅下面第32节。）
对于我来说，概率引起了一些问题，又是非常使人兴奋而有趣的工作。《研究的逻辑》中所处理的根本问题就是物理学中概率陈述的可检验性。我认为这个问题向我的总的认识论提出了重要挑战，而且我借助于一个属于这种认识论的一部分，并且我认为不是一种特设性假说的观念，解决了这个问题。这个观念就是：任何理论陈述的检验都不是最终的或定论性的，并且经验的或批判的态度包括坚持某些“方法论规则”，这些规则告诉我们不要回避批判而要接受反驳（虽然不太容易），这些法则基本上是有点灵活的。因而接受一个反驳几乎就如同试验性地采用某种假说，即接受某种猜想一样有风险。
第二个问题是概率陈述种种可能的诠释问题，而且这个问题与在我书中起了主要作用的其他两个问题有密切的联系（但是它们在性质上是截然不同的）：一个是对量子力学的诠释问题——依我看来，就是物理学中概率陈述的地位问题；另一个是理论的内容问题。
然而，为了能够以最一般的形式着手解决概率陈述的诠释问题，就有必要发展一套概率计算的公理系统。这对于另一个目的来说也是必要的——对于确立我在《研究的逻辑》中提出的论题：“验证在概率计算的意义上并不是一种概率”，就是说验证的某些直观方面使它不能与概率计算意义上的概率等同。（也请参阅下面注「155］和「159」之间的正文。）
在《研究的逻辑》中我已指出，关于概率概念有许多可能的诠释，并且我坚持认为在物理学中，只有像理查德·冯·米塞斯提出的那种频率理论才是可以接受的。（后来我引入趋向性的诠释修改了这种观点，并且我认为冯·米塞斯会赞同这种修改；因为趋向性陈述仍然要用频率来检验。）但是我对于一切已知的运用无穷序列的频率理论除了若干次要的异议外，还有一个主要的技术性的异议。这就是：
取0和1的任何有穷序列（或者只是0的或1的有穷序列），无论它有多长；设它的长度是n，而这个n也许是数十亿。继n＋1项后是一个无穷随机序列（一个“集合体”）。因此对于一个组合的序列来说，只有某种终止部分（从某个m≥n＋1开始）的性质是有意义的，因为一个序列满足冯·米塞斯的要求，当且仅当该序列的终止部分满足这些要求时。但是这意味着任何经验的序列对于判断任何无穷序列（经验序列是这个无穷序列的初始节段）简直是不相干的。
我有机会和冯·米塞斯、海利、汉斯·哈恩讨论这个问题（以及许多其他问题）。当然他们都同意我的看法，但是冯·米塞斯对此并不担忧。他的观点（是众所周知的）是：满足于他要求的序列——他称它为一个“集合体”——是一个像球体一样的理想的数学慨念。任何经验的“球体”只能是大致的近似。
我将乐意把数学上理想的球体和经验的球体之间的关系当作数学的随机序列（一种“集合体”）和无穷经验序列之间关系的一种模型来接受。但是我强调不存在令人满意的意义，而在这种意义上，一种有穷序列可以说成大致上近似于冯·米塞斯意义上的集合体。因此，我开始建构某种理想的但又不太抽象的东西：一种理想的无穷随机序列，它从一开始就具有随机性质，所以长度n的每一个有穷的初始节段尽可能是理想地随机的。
在《研究的逻辑》中，我概述了这样一种序列的建构，但是那时我并没有充分认识到这种建构实际上解决了（a）能够与有穷的经验序列相比较的理想的无穷序列的问题；解决了（b）建构一个可以用来代替（非建构的）随机定义的数学序列问题；以及解决了（c）使冯·米塞斯关于极限存在的假设成为多余的问题，因为这一点现在已可以得到证明了。换言之，那时我并没有认识到我的建构取代了在《研究的逻辑》中提出的若干解决方法。
我的理想化的随机序列并不是在冯·米塞斯意义上的“集合体”，尽管它们通过了所有的随机统计检验，但它们是确定的数学上的建构：它们的延续可以被任何知道建构法的人在数学上预测到。但是冯·米塞斯业已要求“集合体”应该是不可预测的（“排除赌博系统原理”）。这种范围广泛的要求有不幸的推断，即不能建构一个集合体的例子，因此建构这种要求的无矛盾性的证明是不可能的。当然克服这个困难的惟一方法是放宽这个要求。于是便引起了一个有趣的问题：使无矛盾性（或存在〕的证明成为可能的最低限度的放宽是什么呢？
这是有趣的，但不是我的问题。我的中心问题是任意长度的因而可扩展为无穷理想随机序列的有穷类随机序列的建构问题。
1935年初，我在维也纳学派的一个外围团体中作了一次关于这个问题的讲演，后来我应卡尔·曼格尔之邀到他著名的“数学学术讨论会”上作一次讲演，我发现这是一个大约30人参加的非常杰出的集会，他们当中有库尔特·哥德尔、阿尔弗雷德·塔尔斯基和阿伯拉罕·瓦尔德；并目根据曼格尔的看法，我成了无意中引起瓦尔德对概率和统计学领域发生兴趣的工具，而在这个领域内，瓦尔德是非常闻名的。曼格尔在他给瓦尔德写的讣告里对这件事作了以下描述。
那时，发生了第二件事，这件事证明对瓦尔德以后的生活和工作具有决定性的重要意义。维也纳的哲学家卡尔·波普尔……试图使随机序列的概念精确化，从而纠正冯·米塞斯集合体定义明显的缺点，在我听到了（在石里克的哲学学派里）关于波普尔想法的不太专门的阐明后，我要他把那个重要主题详细地向数学学术讨论会作介绍。瓦尔德对此产生了浓厚的兴趣，结果就是他关于集合体概念的首尾一贯的高超论文……他把他对集合体存在的证明建立在集合体概念的双重相对化基础上。
曼格尔接着描述集合体定义，并且作出结论说：
尽管瓦尔德的相对化限制了原来的不受限制的（但是难以运用的）集合体概念，但它比科普兰、波普尔和赖辛巴赫的不规则性要求要无力得多。事实上，它把这些要求作为特例包括在内了。
这是很对的，瓦尔德出色地解决了把冯·米塞斯的要求放宽到最低限度的问题。这一点给我留下了最深刻的印象。但是正如我有机会向瓦尔德指出的那样，这并没有解决我的问题：对于0和1具有同等概率的“瓦尔德集合体”仍然可以从一大堆数十亿个0开始，因为随机只是一个在极限中如何表现的问题。大家公认，瓦尔德的工作提供了一个把一切无穷序列类都分为集合体和非集合体的一般方法，而我的工作仅仅允许构成任意长度的某种随机序列——可以说是某些很特殊的模型。然而任何长度的任何给定有限序列总是能这样延续，以致不是成为瓦尔德意义上的集合体，就是成为瓦尔德意义上的非集合体。（这同样适用于科普兰、赖辛巴赫、丘奇和其他人的序列。）
我在一段很长时间内认为我对我的问题的解决，似乎在哲学上是十分令人满意的，它能够借普遍化而使它在数学上更有意义，而且认为瓦尔德的方法也可以用于此目的。我与瓦尔德讨论了这个问题，我和他变得很友好，希望他能自己去做这件事。但是这是困难时期：在我们两人都移居到世界不同地区以前，我们谁都没有设法回到这个问题上来。
还有一个与概率密切有关的问题：一个陈述或一个理论的内容的（量度）问题。我已在《研究的逻辑》中表明，一个陈述的概率与其内容成反比，因此，它可以用于建构内容的量度（内容的这种量度充其量是比较的，除非这个陈述是关于一种靠碰运气取胜的游戏的陈述，或者也许是关于某种统计学的陈述。）
这提示了在概率计算的诠释中，至少有两种诠释是极为重要的：（1）一种允许我们谈论诸如掷一便士钱币猜正反面或电子出现在荧光屏上之类的（单个）事件的概率
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